이차곡선

원뿔과 평면이 이루는 각이 달라짐에 따라 원뿔곡선이 달라지는데, 이는 각 이름의 어원이 되었습니다. 타원은 각이 부족하다는 의미에서 일립스, 포물선은 같다는 의미에서 파라볼라, 쌍곡선은 넘어섰다는 의미에서 하이퍼볼라라는 이름을 지닙니다.

 

수학에서 매력적인 주제 중 하나인 이차곡선에 관해 이야기해보려 합니다. ‘이차곡선’이란 이름이 아직은 낯설게 들릴 수 있지만, 사실 중학교와 고등학교에서 접하는 곡선들이 바로 이차곡선에 해당합니다.

 

예를 들어, 중학교 3학년 때 배우는 포물선(이차함수)부터 시작해 고등학교 1학년 과정에서 등장하는 원, 그리고 선택과목인 기하에서 만나게 될 포물선, 타원, 쌍곡선이 모두 이차곡선입니다.

수학자들이 이들을 한 그룹으로 묶어 ‘이차곡선’이라고 부르는 이유는 이 곡선들을 모두 x와 y의 이차식으로 표현할 수 있기 때문입니다. 이렇게 모양이 다양한 곡선이 서로 연결된 점이 있다는 사실이 꽤 흥미롭죠.

오늘은 이차곡선의 정의와 각각의 특징을 살펴보면서 함수식을 몰라도 이차곡선이 왜 독특한 주제인지 알아보려고 합니다. 또한 기하학적으로 이 곡선들이 어떻게 나타나는지 함께 살펴볼 텐데, 이를 통해 수학적 개념을 보다 넓은 시각에서 바라보고, 수학이 서로 어떻게 연결되어 있는지 확인할 수 있을 것입니다.

이 곡선들을 하나로 묶어 바라보기 시작한 건 상당히 오래되었습니다. 그리스 수학자 아폴로니우스가 그 주인공으로 알려져 있는데, 이 곡선들을 하나의 원뿔에서 모두 발견할 수 있기 때문에 이러한 이차곡선을 ‘원뿔곡선’이라고 부르기도 합니다.

 

쌍곡선을 자세히 살펴보면 다른 곡선과는 아주 큰 차이점이 있습니다. 점점 벌어지는 곡선의 바깥 부분 양상이 바로 그것입니다. 쌍곡선은 구부러진 가운데 부분에서 점점 멀어질수록 원뿔의 모선에 점점 가까이갈 수밖에 없는 숙명을 지니고 있습니다.

 

즉 곡선은 곡선이되 직선으로 수렴해가는 모습을 갖춘 것이죠. 이런 함수는 유리함수에서도 찾아볼 수 있습니다! 유리함수도 한 쌍의 곡선이라는 점에서 또 다른 공통점이 있지요. 두 곡선이 본질적으로 같은지, 다른지 궁금한 학생은 따로 찾아보면 좀 더 유익한 시간을 보낼 수 있으리라 생각합니다.