무한

 

1. 동기

무한의 개념을 이용하여 무한적으로 반사되는 빛을 주제로 가지고 전남 수학 축전에 부스 운영으로 참가하여 다른 학생들한테 무한의 이론, 하프 미러의 원리 등을 간단히 설명하고 이를 이용한 체험물 만들기를 도와준 경험이 있었다.

 

하지만 저보다 무한의 개념을 잘 아는 학생도 많이 있었고, 생각지도 못한 부분에서 무한의 개념을 생각하고 찾는 학생들을 보고 무한이라는 내용이 생각보다 우리 주변에 많이 있다는 것을 알고 무한에 더욱 관심과 흥미를 가지게 되었고, 좀 더 무한에 대해 알아보고 싶어서 이 주제를 선택하게 되었다.

 

2. 내용

* 무한

무한의 사전적 의미는 집합의 원소를 다 헤아릴 수 없음, 수, 양, 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음을 가리킨다.

 

* 무한의 역사

거북과 아킬레우스의 달리기 시합으로 유명한 제논의 역설은 기원전 450년에 탄생한다. 아킬레우스가 거북이보다 1000배가 빠르며 거북이는 아킬레우스보다 1000미터 앞서서 출발한다고 가정하면 아킬레우스가 거북이가 있는 위치에 오면 거북이는 아킬레우스보다 1미터 앞서게 되고 그 후 다시 아킬레우스가 거북이가 있는 위치까지 오게 되면 거북이는 1/1000미터를 앞서게 된다.

 

또다시 아킬레우스가 거북이가 있는 위치까지 오게 되면 1/1000000미터를 거북이가 앞서게 된다.이 과정을 무한하게 반복하다 보면 어느 순간 아킬레우스는 거북이를 앞서지 못한다는 것이 제논의 역설이다. 러셀은 엘레아의 제논이 내세웠던 주장은 여러 모습을 띠면서 그 때부터 지금까지 나왔던 공간과 시간과 무한에 관한 모든 이론에 근거를 마련해 주었다. 라고 평가하였다.

 

무한에 대한 새로운 관점은 르네상스 시대 미술에서 나왔다. 평면의 화폭에 공간과 거리의 감각을 사실적으로 구현할 방법을 연구했다. 무한에 대한 새로운 관점은 바로 원근법에서 찾을 수 있다.

 

네덜란드 화가인 호베마의 이 작품은 평행한 양쪽의 길을 그림에 담기 위해 원근법을 이용한다. 평행한 양쪽의 길은 한 점에서 만나는데 이 점을 소멸점이라고 한다. 이 소멸점은 무한한 선분을 담을 수 있다. 그래서 소멸점의 다른 이름은 무한원점이다. 이렇게 무한은 미술에 나타나기도 하였다.

 

갈릴레오의 마지막 저서인 <새로운 두 과학에 대한 논의와 수학적 증명>(이하 새로운 두 과학)에서 아리스토텔레스의 바퀴에 대하여 논한다. 아리스토텔레스는 모든 원의 원주는 같다 라는 주장을 한다.

 

그리고 바퀴의 큰 원과 작은 원이 그리는 궤적의 길이가 같다는 것이라고 주장한다. 이를 바로 바퀴의 역설 이라고 한다. 다각형의 바퀴는 중간에 점프하는 구간이 존재하고 다각형의 변의 개수가 많아지면 점프하는 구간이 줄어든다는 것도 알아냈다. 이러한 원리를 이용하여 갈릴레오는 원이란 무한 다각형 이라는 주장도 하게 되며 바퀴의 역설을 설명하기 위해 무한의 개념을 빌린다.

 

19세기 말 칸토어는 갈릴레오의 일대일 대응을 할 수 있다면 두 집합의 크기는 같다. 라는 말을 토대로 칸토어는 자연수와 짝수의 개수는 같다고 생각을 하였으며 유리수 집합과 정수 집합의 일대일 대응을 통해 크기를 비교하기로 한다.

 

칸토어가 고민한 끝에 대각선을 이용하여 정수와 유리수를 비교한다. 그리고 대각선의 순서대로 나열한 유리수와 자연수를 대응시켜 유리수만큼 많은 정수가 있다고 결론을 내리게 된다. 더불어 실수는 유리수보다 훨씬 더 많다는 것을 증명한다. 이것으로 인하여 무한도 다 같은 무한이 아니라고 주장하였다.

 

* 프랙탈

프랙탈 구조는 단순한 구조가 끊임없이 모양이 반복되는 구조를 말하며 자기 유사성과 순환성이라는 특징을 가지고 있다. 우리 주변의 예로는 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 동물혈관 분포형태, 리아스식 해안선 등이 있다.

 

수학자인 헬게 폰 코흐에 의해 만들어진 코흐 곡선은 간단한 프랙탈 도형의 예로 들 수 있다. 코흐 곡선은 한 변이 1인 선분을 3등분하여 1/3 지점과 2/3 지점에 한 변의 길이가 1/3 인 정삼각형을 만들고 밑변을 없애는 방식으로 무한하게 만들 수 있다. 이 과정을 반복하다 보면 눈송이 모양이 만들어지게 된다. 이를 눈송이 곡선 이라고 부르기도 한다.

 

프랙탈 구조의 다른 예로는 시에르핀스키 삼각형이 있다. 시에르핀스키 삼각형은 내부가 차있는 정삼각형에서 세 변의 중점들을 이은 작은 정삼각형을 제거하는 과정을 무한히 반복 한 것을 말한다.

 

* 무한대

어떠한 실수나 자연수보다 큰 수이다. 또는 무한히 커져 가는 상태 등을 나타내며 기호로는 ∞로 나타낸다. 그리고 양의 무한대를 +∞, 음의 무한대를 -∞라고 한다.

 

* 수열의 극한에서의 무한

수열이란 어떤 규칙에 따라 차례대로 나열된 수의 열을 말한다. 이때 나열된 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 그리고 {an}은 an으로 하는 수열을 뜻하며, n = 1, 2, 3, ···을 대입하여 a1은 첫째항, a2은 둘째항, a3은 셋째항 ···을 나타낸다.

 

수열{an} 에서 n이 한없이 커짐에 따라 an의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면, an은 α에 수렴한다고 한다. 이때 α를 수열 {an}의 극한값 또는 극한이라고 표현한다.

 

수열이 무한대로 발산할 경우 수열{an} 에서 n이 한없이 커짐에 따라 an의 값도 한없이 커지면, 수열{an} 은 양의 무한대로 발산한다고 한다. 이것을 기호로

라고 표현한다.

 

5. 참고 자료

네이버 지식백과 <수학산책>

국회도서관