수업시간 발표자료(미적분)

수업시간 발표자료(미적분)

 

영화부분에서도 미적분이 두루 사용되었는데요, 우리 생활에서도 미적분이 빈번하게 사용되는데요, 속도나 가속도를 측정할 때에나, 거리를 찾을 때에도 미적분이 사용됩니다.

 

(PPT Sl.1)거리 미적분 - 무인단속 카메라

먼저, 무인단속 카메라가 속도를 측정하는 장치 중 하나입니다. 무인 카메라는 속도를 측정할 때 도함수가 사용된다고 할 수 있습니다. 도함수는 미분계수, 즉 기울기의 함수잖아요? 자, 여기서 우리가 도함수와 속도의 연관성에 대해서 알아보자면, 먼저 속도는 시간 분에 거리, 즉 기울기를 가리킵니다. 그렇기 때문에 시간 분에 거리는 이 함수의 속도이자 기울기이므로 도함수이죠.

 

먼저, 그럼 우리가 속도를 재는 방법에는 두 가지 방법이 있습니다. 먼저, 어디부터 어디까지 구간을 정해서 시간 당 간 거리가 얼마인지 측정하는 방법, 즉 평균변화량 기울기를 구하는 방법이 있고, 그리고 우리가 처음에 미분계수에 대해서 배운 것처럼 미분계수를 통해 순간속도를 포착하는 것도 있어요.

 

그러면, 기본적으로 두 개의 차이점이 있어요. 첫 번째, 시간분에 거리하는 건 기준점이 두 개가 있어야 해요. 시작하는 점과 끝나는 점. 그렇기 때문에 평균속도를 측정하는 과속 단속 카메라는 세트로 있어야 해요. 우리가 배운 것처럼, 그리고 그 차가 단위 거리를 몇 초만에 갔는지를 측정해서 계산을 하는 것이죠. 그 반대로, 순간속도를 잡는 카메라는 한 대로만 판단할 수 있어요.

 

사실, 그러니까 생각해보면 평균속도로 측정하는 부분에서는 제한속도를 130km/h라고 하면 이만큼에서 이만큼까지 260km로 달리다가 순간 딱! 카메라 10m전에 멈춰서 시간을 기다리면 걸릴 이유가 없겠죠? 두 번째로, 카메라가 한 대인 경우에는 그 앞에서 한 번 멈추면 되겠죠? 생각보다 법에 걸리지 않을 수 있는 방법이 매우 많은 것 같아요.

그렇다고 해서 과속하라는 말은 아니에요. 만약에 여러분이 과속을 하게 된다면 여러분은 그 속도의 기울기보다 더 빠르게 죽게 될 것이니까요 :)

 

거리 미적분 – 궤도적분

그 외에도, 동물들도 거리를 측정할 때 미적분을 사용하는데요, 저는 “경로적분”에 대해 설명해 드리고자 합니다. 영어로는 path integration이에요. 이건 2014학년도 9월 국어 모고 비문학 지문에 등장했던 내용인데요, 아마 여러분도 보신 적이 있으실 수도 있어요.

 

옆 그림과 같이, 몇몇 새들과 곤충들은 집에서 먹이를 찾으러 갔다가 먹이를 가지고 올 때 왔던 길로 다시 돌아가기보다는 바로 그 점에서 집으로 바로 온다고 합니다. 이것은 이들이 경로적분을 사용했기 때문입니다. 경로적분은 자신의 위치에서 집 방향을 계속하여 다시 계산함으로써 가능한데요, 신기한 점은 이러한 곤충들은 2차원에서만 경로적분을 사용하는 것이 아니라 3차원의, 굴곡이 많은 사막에서도 경로적분을 사용한다고 합니다.

 

그렇다면 왜 이 경로를 찾는 행위를 경로“적분”이라고 했을까요? 저는 다음과 같이 생각했습니다. 적분이 원래 작았던 것들을 쌓아올리는 것이잖아요? 그러니까 먼저 개미는 3차원 좌표축을 머리에 그리고 있는 거죠. 그래서 지금 현재 자기가 어디에 있는지를 좌표점에 찍는 거에요. 마치 르네 데카르트처럼 좌표축에 우선 찍은 다음에 자기가 갈 때마다 작은 변화를 측정하는 것이죠. 여기서 벡터의 개념이 잠깐 등장하던데, 음... 벡터가 무엇이냐 하면 크기와 방향을 모두 가지는 어떤 양이라고 합니다.

 

그러니까 이 위치에서 이 위치로 가기 위한 힘의 크기와 방향을 벡터라고 말하는 것 같아요. 유민이가 이해 안된다고 말해서, 음, 정말 쉽게 말하면 화살표라고 생각하면 될 것 같아요. 맨 처음에 출발하는 거, 그리고 어떤 한 점에 가기 위한 방향성이 있는 힘! 네 그건 그렇구요 그냥 듣기만 해도 되요. 벡터를 잠깐 도입해보면, 개미들은 자신이 움직이는 벡터를 계산함과 동시에 다시 집으로 가기 위한 벡터값을 계산합니다. 천재들인 것 같죠? 네 이 능력은 타고난 거라고 비문학 지문에서 말하더라구요. 결론은, 동물들도 미적분을 사용한다는 점입니다.

 

그 외에도 우리 학교에서도 미적분의 원리로 돌아가는 기계가 있는데, 그 기계가 바로 3D 프린터랍니다. 3D 프린터는 3차원으로 물건을 만드는 거잖아요, 근데 3D 프린터로 만든 제품을 만져 보면 겉 표면이 거칠거칠해요. 한 층씩 쌓는 적층방식으로 만들어서 그런 거죠. 다시 말해 원하는 3차원 제품을 가로축을 기준으로 2차원 평면이 되도록 잘게 쪼갠 다음, 아래에서부터 한 층 한 층 쌓아 올린 거예요.

 

그런데 이런 원리는 미적분과 매우 비슷해요. 미분은 시간이나 거리 등 어떤 변수를 기준으로 아주 잘게 나누어 변화한 비율을 따지는 것이고, 적분은 구하고자 하는 면적이나 부피를 아주 잘게 나누어 쌓는 거예요. 즉 잘게 나누고 쌓는 것이 미적분의 개념과 매우 유사하죠. 때문에 3D 프린터의 원리가 미적분과 같다고 하는 거예요.