페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리

 

페르마의 마지막 정리. 초등학생도 풀 정도로 간단해 보이는 공식이나, 최고의 석학들도 무릎을 꿇은 수학계의 신화로 불리우던 공식이 아닐까 싶다. 수학 역사상 최대의 수수께끼였고 난제였다. 그 동안 수많은 사람들이 이 공식을 증명하기 위해 일생을 바쳤지만 빗장은 끝내 열리지 않을 듯했다. 그러나 영국의 수학자 앤드루 와일즈가 페르마의 마지막 정리 를 증명하는 데 성공하여 1997년 마침내 볼프스켈 상을 수상하면서 수학사는 새로운 장을 연다. 소년 시절 시골 도서관에서 이 정리와 처음 접하던 순간, 그것을 증명하는 데 일생을 걸기로 맹세했던 그는, 수많은 사람들의 무성한 실패담 속에서도 결코 포기하지 않고 7년이란 세월을 홀로 견뎠다.

 

 n 이 2 보다 큰 자연수일 때, 방정식 xn＋yn=zn 을 만족하는 양의 정수(자연수) x, y, z 는 존재하지 않는다. 

이것이 페르마의 마지막 정리의 내용이다. 페르마는 자기가 발견한 것들을 발표하지 않고 다른 사람과 주고 받은 편지에 쓰거나, 책의 여백에 적어 놓곤 했다. 페르마가 죽은 뒤 그의 아들이 부친의 업적을 정리해 발표했는데 이 내용은 디오판토스의 책 산술의 여백에 적혀 있었다고 한다. 페르마는 이 내용을 1630년 경에 썼다고 알려져 있다. 이 정리 옆에는 또 "나는 정말 놀라운 증명 방법을 발견했다. 하지만 이 여백이 좁아서 증명을 쓸 수가 없다." 라고 적혀 있었다.

페르마가 이런 식으로 써 놓은 다른 것들은 모두 옳다는 것이 밝혀졌지만 이 "정리" 만은 오래도록 증명되지 못했다. 그래서 이것이 페르마의 마지막 정리라고 불리게 된 것이다.

 

그렇다면 과연 페르마의 마지막 정리가 무엇 때문에 중요한 것인가?

1984년까지, 페르마의 마지막 정리는 증명된다고 해도 별 쓸모가 없는 순전히 호기심을 불러일으키는 문제일 뿐이었다. 그러나 1984년, 이 문제가 타원함수에 대한 어떤 문제와 관계가 있다는 것이 밝혀졌다. 그런데 그 문제는 엄청나게 많은 다른 문제들을 풀 수 있는 출발점이었다. 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것은 곧 20세기 수학에 한 획을 긋는 역사적인 일이었던 것이다.

 

그렇게 많은 수학자가 오랫동안 증명하지 못했다면, 정말 페르마가 증명을 발견했던 것일까?

아마 그러지 못했을 것이다. 페르마 자신도 놀라운 증명 방법 에 오류가 있다는 것을 나중에 깨달았던 것 같다. 왜냐하면 다른 모든 발견에 대해서는 다른 사람들과 주고 받은 편지에 이 문제를 풀어 보라' 는 식으로 써 놓았기 때문이다. 그런데 이 문제에 대해서는 n 이 3 또는 4 일 때에 대해서만 언급이 있을 뿐 일반적인 n 에 대한 정리는 다시는 언급되지 않았다.

그렇다면 페르마의 마지막 정리는 무엇 때문에 그렇게도 증명하기 어려운 것인가?

 

원래부터 어렵다기보다는 사람들이 그것을 증명하기 위한 방법을 못 찾았다고 해야 할 것이다. 지금도, 오래 전부터 사람들이 시도했지만 풀리지 않은 문제가 많이 있다. 간략하게 이 페르마의 마지막 정리에 대해 사람들이 어떤 노력을 해서 어떤 발전이 있었는지 알아 보겠다. 페르마 자신은 ‘직각삼각형의 넓이는 제곱수가 될 수 없다’ 즉, x, y, z 가 정수일 때 x² + y² = z² 이면, xy/2 는 제곱수가 될 수 없다는 것을 증명했다. 이것을 사용하면 n 이 4 일 경우는 증명이 된다. 그러고 나면, n 이 홀수인 소수일 경우만을 증명하면 된다는 것이 밝혀진다. 1753년, 오일러는 자신이 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 주장했으나 그 증명에는 오류가 있었다. 제르맹은 페르마의 마지막 정리를 두 경우, 즉

 

“x, y, z 중 어느 것도 n 의 배수가 아닐 때”, “x, y, z 중 하나만이 n 의 배수일 때”

로 나눌 수 있다는 것을 밝히고 100 이하의 n 에 대해 경우 1)을 증명했다. 르장드르는 제르맹의 방법을 확장하여 197 이하의 n 에 대해 경우 1)을 증명했다.

 

그렇다면 앤드루 와일즈는 어떤 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명했던 것일까?

1955년, 다니야마는 타원함수, 즉 y² = x³ + ax + b 꼴의 함수에 대해 어떤 문제를 제기했다. 시무라와 베이유는 이 문제를 더 연구하여 하나의 "추측" 을 제기했고 그것은 시무라-다니야마-베이유의 추측이라고 불린다. 그런데 1984년, 프라이 는 페르마의 마지막 정리와 시무라-다니야마-베이유의 추측이 서로 관계가 있음을 밝혔고, 1986년에는 리벳(Ken Ribet) 에 의해, 페르마의 마지막 정리에 반례가 있다면 시무라-다니야마-베이유의 추측에도 반례가 생긴다는 것이 증명되었다.

 

즉, 시무라-다니야마-베이유의 추측만 증명하면, 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것이다. 이것으로 페르마의 마지막 정리는 단순히 호기심을 불러일으키는 문제에서, 공간의 기본적인 성질에 관계된 문제로 탈바꿈했다. 와일즈(Andrew Wiles) 가 한 일은, 시무라-다니야마-베이유의 추측을, 어떤 일부의 경우에 대해서 증명한 것이다. 그것으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데는 충분했던 것이다.

 

페르마의 마지막 정리. 초등학생도 풀 정도로 간단해 보이는 공식이나, 최고의 석학들도 무릎을 꿇은 수학계의 신화로 불리우던 공식이 아닐까 싶다. 수학 역사상 최대의 수수께끼였고 난제였다. 그 동안 수많은 사람들이 이 공식을 증명하기 위해 일생을 바쳤지만 빗장은 끝내 열리지 않을 듯했다. 그러나 영국의 수학자 앤드루 와일즈가 '페르마의 마지막 정리'를 증명하는 데 성공하여 1997년 마침내 볼프스켈 상을 수상하면서 수학사는 새로운 장을 연다. 소년 시절 시골 도서관에서 이 정리와 처음 접하던 순간, 그것을 증명하는 데 일생을 걸기로 맹세했던 그는, 수많은 사람들의 무성한 실패담 속에서도 결코 포기하지 않고 7년이란 세월을 홀로 견뎠다.

 

 n 이 2 보다 큰 자연수일 때, 방정식 xn＋yn=zn 을 만족하는 양의 정수(자연수) x, y, z 는 존재하지 않는다. 

이것이 페르마의 마지막 정리의 내용이다. 페르마는 자기가 발견한 것들을 발표하지 않고 다른 사람과 주고 받은 편지에 쓰거나, 책의 여백에 적어 놓곤 했다. 페르마가 죽은 뒤 그의 아들이 부친의 업적을 정리해 발표했는데 이 내용은 디오판토스의 책 산술 의 여백에 적혀 있었다고 한다. 페르마는 이 내용을 1630년 경에 썼다고 알려져 있다. 이 정리 옆에는 또 나는 정말 놀라운 증명 방법을 발견했다. 하지만 이 여백이 좁아서 증명을 쓸 수가 없다. 라고 적혀 있었다.

페르마가 이런 식으로 써 놓은 다른 것들은 모두 옳다는 것이 밝혀졌지만 이 "정리" 만은 오래도록 증명되지 못했다. 그래서 이것이 페르마의 마지막 정리라고 불리게 된 것이다.

 

그렇다면 과연 페르마의 마지막 정리가 무엇 때문에 중요한 것인가?

1984년까지, 페르마의 마지막 정리는 증명된다고 해도 별 쓸모가 없는 순전히 호기심을 불러일으키는 문제일 뿐이었다. 그러나 1984년, 이 문제가 타원함수에 대한 어떤 문제와 관계가 있다는 것이 밝혀졌다. 그런데 그 문제는 엄청나게 많은 다른 문제들을 풀 수 있는 출발점이었다. 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것은 곧 20세기 수학에 한 획을 긋는 역사적인 일이었던 것이다.

 

그렇게 많은 수학자가 오랫동안 증명하지 못했다면, 정말 페르마가 증명을 발견했던 것일까?

아마 그러지 못했을 것이다. 페르마 자신도 "놀라운 증명 방법" 에 오류가 있다는 것을 나중에 깨달았던 것 같다. 왜냐하면 다른 모든 발견에 대해서는 다른 사람들과 주고 받은 편지에 '이 문제를 풀어 보라' 는 식으로 써 놓았기 때문이다. 그런데 이 문제에 대해서는 n 이 3 또는 4 일 때에 대해서만 언급이 있을 뿐 일반적인 n 에 대한 정리는 다시는 언급되지 않았다.

그렇다면 페르마의 마지막 정리는 무엇 때문에 그렇게도 증명하기 어려운 것인가?

 

원래부터 어렵다기보다는 사람들이 그것을 증명하기 위한 방법을 못 찾았다고 해야 할 것이다. 지금도, 오래 전부터 사람들이 시도했지만 풀리지 않은 문제가 많이 있다. 간략하게 이 페르마의 마지막 정리에 대해 사람들이 어떤 노력을 해서 어떤 발전이 있었는지 알아 보겠다. 페르마 자신은 직각삼각형의 넓이는 제곱수가 될 수 없다 즉, x, y, z 가 정수일 때 x² + y² = z² 이면, xy/2 는 제곱수가 될 수 없다는 것을 증명했다

 

. 이것을 사용하면 n 이 4 일 경우는 증명이 된다. 그러고 나면, n 이 홀수인 소수일 경우만을 증명하면 된다는 것이 밝혀진다. 1753년, 오일러는 자신이 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 주장했으나 그 증명에는 오류가 있었다. 제르맹은 페르마의 마지막 정리를 두 경우, 즉 x, y, z 중 어느 것도 n 의 배수가 아닐 때,  x, y, z 중 하나만이 n 의 배수일 때로 나눌 수 있다는 것을 밝히고 100 이하의 n 에 대해 경우 1)을 증명했다. 르장드르는 제르맹의 방법을 확장하여 197 이하의 n 에 대해 경우 1)을 증명했다.

 

그렇다면 앤드루 와일즈는 어떤 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명했던 것일까?

1955년, 다니야마는 타원함수, 즉 y² = x³ + ax + b 꼴의 함수에 대해 어떤 문제를 제기했다. 시무라와 베이유는 이 문제를 더 연구하여 하나의 추측 을 제기했고 그것은 시무라-다니야마-베이유의 추측이라고 불린다. 그런데 1984년, 프라이는 페르마의 마지막 정리와 시무라-다니야마-베이유의 추측이 서로 관계가 있음을 밝혔고, 1986년에는 리벳 에 의해, 페르마의 마지막 정리에 반례가 있다면 시무라-다니야마-베이유의 추측에도 반례가 생긴다는 것이 증명되었다.

 

즉, 시무라-다니야마-베이유의 추측만 증명하면, 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것이다. 이것으로 페르마의 마지막 정리는 단순히 호기심을 불러일으키는 문제에서, 공간의 기본적인 성질에 관계된 문제로 탈바꿈했다. 와일즈가 한 일은, 시무라-다니야마-베이유의 추측을, 어떤 일부의 경우에 대해서 증명한 것이다. 그것으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데는 충분했던 것이다.