수업 시간 발표 자료

 

코로나 바이러스의 수학적 모델 (SIR)

 

개인 탐구 주제

코로나 바이러스의 수학적 모델 SIR + 그 외 다른 모델

 

동기 　

현재 우리나라뿐만 아니라 전세계적으로 코로나19 때문에 많은 사상자가 나오는 뉴스 기사와, 유튜브 매체를 통해 접하면서 어떻게 해야 이러한 상황을 극복할 수 있는지에 대한 의문이 들었다. 그래서 코로나 종식과 환자의 수를 추측하는 방법에 대해 찾아보던 중 수학2와 밀접하게 관련되어 있는 SIR 모델을 찾게 되었다. SIR 모델로 코로나 19와 같은 바이러스에 대한 예상과 추측이 가능하다는 것이 믿기지 않아 이러한 원리에 대해 탐구하게 되었다.

 

수학2 관련내용　：　각각 감염되지 않는 인구(S), 감염자(I), 회복자(R)의 변화율에 미분이 쓰였으며, 각각의 변화율을 구하는 식에 수를 대입해 적분을 하여 그래프를 그릴 수 있다.

 

탐구 내용

1) SIR 모델은 현재 코로나 19와 같이 전염병이 유행할 때 감염자의 수를 되도록 정확하게 예측하기 위해 사용되는 1927년에 고안된 대표적인 전염병 확산 모델이다. 스코틀랜드의 생화학자 켈맥과 병리학자 맥켄드릭이 S IR 모델을 창시했다.

 

2) SIR 모델을 특징

1. SIR 모델의 변수를 정하기:　S(t) > 시간 t에서 아직 감염되지 않은 비율, I(t) > 시간 t에서 질병에 감염된 비율, R(t) > 시간 t에서 질병으로부터 회복된 비율

2.　SIR 모델의 특징은 감염에 노출된 취약자, 감염자, 감염에서 회복된 사람의 비율이 시간에 따라 역동적으로 변화하며, 세 집단의 변화를 수학적으로 표현할 수 있다는 점이다.　(감염에 취약한 집단에서 최초감염자가 나오면 취약자에게 전파가 시작되고, 감염된 사람들은 시간이 지나 회복자가 됨)

 

미분이 사용된 SIR 모델 탐구하기

미분을 통해 SIR 모델에서 감염 취약자, 감염자, 회복자의 변화율을 식으로 나타낼 수 있다.

1. 회복자의 증가율

감염자 > (시간의 흐름) > 회복자(R), 질병의 회복률(r) = 감염 기간의 역수 {ex )　코로나 감염 기간이 14일　> 회복률 1/14 

결론 : 회복자 수의 증가율 dR/dt = r(회복률) x I(감염자 수) = rI

 

감염자의 증가율 & 변화율

β (감염의 효과율) 이 커질수록, I (감염자 수)가 많을수록 취약자들이 더 빠르게 감염됨 >> 감염의 강도= βI

시간에 따른 감염자 수의 증가율=dI/dt= 감염의 강도 x 취약자의 수= βI x S= βSI

위 내용은 감염자의 증가율만을 나타낸 것, 실질적인 변화율을 알기 위해서는 회복자의 변화율을 제외시켜야함. 그러므로 감염자 수의 변화율= dI/dt= 취약자로부터의 유입-회복자로의 유출= βSI- rI

 

취약자의 변화율

전염병 전파 이전 인구 비율 S(취약자) = 100%, 최초 감염자가 생기면 취약자에 전파가 됨 (취약자가 감염자로 이동, 그렇기 때문에 취약자의 변화율과 감염자의 변화율의 부호만 정반대로 됨)

결론 :취약자의 변화율=dS/dt= -βSI

 

SIR 모델의 한계점 및 보완법

SIR 모델은 잠복기를 고려하지 않거나 회복 후에는 완전히 면역이라는 점에서 확실치 못한 면이 많다 그렇기 때문에 이러한 부분들을 보완하고 조금 더 현실적인 방법으로 제기된 것이 바로 SIR 모델의 변형이다. 그 예로 잠복기를 고려한 SEIHR 모델이 있다.

 

SEIHR 모델

1.　변수 정하기

S (감염에 취약자), E (잠복 감염자), I (증상이 있는 감염자), H (확진된 격리자), R (회복자 또는 사망자)

2. SEIHR 모델 탐구

- β = 감염 전파율 > 잠복 감염자는 일정 기간이 지난 후 증상 발현되어 감염환자로 전환

- 상수 κ = 코로나19의 증상발현 진행률, 1/κ = 코로나 19의 평균 잠복기간 > 증상이 발현된 감염자는 일정 기간 이후 확진되어 격리

- 증상 감염자의 증상발현 후 확진되어 격리되는 속도 = α, 1/α는 증상 발현 이후 확진되기까지의 평균 기간 > 이는 곧 감염 전파 가능 기간이 됨

- 상수 γ = 격리 감자의 회복률, 1/γ는 회복되기까지의 평균 격리 기간

1. 취약자의 변화율 = dS/dt = βSI

2. 잠복 감염자의 변화율 = dE/dt = βSI - κE

3. 감염자의 변화율 = dI/dt = κE = αI

4. 확진된 격리자의 변화율 = dR/dt = αI - γH

5. 회복자 혹은 사망자의 변화율 = dR/dt = γH

>　SIR 모델의 변형 모델을 사용하여 현재 코로나 상황에 대처하고 있는 상황임

 

결론

이 외에도 SEIRS 모델, MSEIR 모델, SMEIRS 모델 등이 있다. 현재 우리에게 심각한 것으로 여겨지고 있는 코로나 19에 대한 SIR 모델을 탐구하면서 미분이 많은 실생활에서 쓰이고 있다는 것을 깨달았다. 또한, 단순한 적용이 아닌 전세계적으로 사람들이 살아가기 위해 중요하게 여겨지고 있는 것에서 미분과 적분이 사용되는 것을 보고 수학의 영역에는 한계가 없다는 생각을 가지게 되었다.

하지만 SIR 모델에서 변화량을 사용하는 것만으로는 부족하다는 생각이 들기 때문에 변화량을 사용하여 그래프를 그리면서 많은 사람들이 관심을 가져야 한다고 생각한다. 코로나 19 바이러스는 쉽사리 사라질 바이러스가 아니라고 생각한다. 이러한 바이러스에 우리가 대처하기 위해서는 SIR 모델을 기반으로 하여 변형 모델을 만들고 이를 적용해야 한다고 생각한다. 또한, 이를 참고하여, 앞으로의 미래를 준비해야 한다.

참고자료: 국회도서관자료